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Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6.
Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, compruebe las siguientes igualdades y calcule, en cada una de ellas, el valor de $K$.
a) $\int_{0}^{x} \frac{d t}{\sqrt{3 t+5}}=\frac{2}{3} \sqrt{3 x+5}+K$
a) $\int_{0}^{x} \frac{d t}{\sqrt{3 t+5}}=\frac{2}{3} \sqrt{3 x+5}+K$
Respuesta
Para comprobar esta igualdad vamos a usar el TFC como nos sugiere el enunciado.
Reportar problema
$\int_{0}^{x} \frac{d t}{\sqrt{3 t+5}}=\frac{2}{3} \sqrt{3 x+5}+K$
Si derivamos ambos lados de la igualdad nos queda:
$\frac{1}{\sqrt{3x+5}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{3 x+5} } \cdot 3 + 0 $
Aclaración: Acordate que $K$ es simplemente un número, así que su derivada es cero.
Simplificamos y efectivamente vemos que
$\frac{1}{\sqrt{3x+5}} = \frac{1}{\sqrt{3x+5}} $ ✅
Para poder encontrar el valor de $K$, acordate que cualquier integral definida donde sus límites de integración son iguales, nos va a dar simplemente cero:
$\int_{0}^{0} \frac{d t}{\sqrt{3 t+5}} = 0$
Y eso pasa justamente cuando evaluamos esta igualdad en $x=0$! Si hacemos eso entonces nos queda:
$\int_{0}^{0} \frac{d t}{\sqrt{3 t+5}}=\frac{2}{3} \cdot \sqrt{3 \cdot 0+5}+K$
$0 = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{5} + K$
$K = -\frac{2}{3} \cdot \sqrt{5}$
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